伯恩斯坦多项式

我们在研究贝塞尔曲线的时候，首先遇到的就是伯恩斯坦多项式（Bernstein polynomial），为此，有必要专门开出一篇文章来探讨伯恩斯坦多项式的性质。

从定义出发，伯恩斯坦多项式的第n阶项有如下形式：

b_{i,n}(t) = \binom{n}{i}\cdot t^{i} \cdot (1-t)^{(n-i)}, \quad t\in[0, 1]

其中 i=0, 1, …, n, 而

\binom{n}{i} = \frac{n!}{i!(n-i)!}

是二项式系数。伯恩斯坦 n 阶多项式可以形成一组 n 阶指数多项式的基底。一般伯恩斯坦多项式可以表示为：

B_n(t) = \sum_{i=0}^{n}\beta_i \cdot b_{i, n}(t)

其中，\beta_i 叫做伯恩斯坦系数。读者看到这个形式可能一下子就联想到贝塞尔曲线了。是的，这就是贝塞尔曲线的函数形式。不过，贝塞尔曲线我们会在下一篇文章中去详细论述，本篇只探讨伯恩斯坦多项式的特性。

性质

伯恩斯坦多项式满足如下性质：

对称性

b_{i,n}(t) = b_{n-i,n}(1-t)

正性

b_{i,n}(t) \geqslant 0

归一化

\sum_{i=0}^{n}b_{i, n}(t) = 1

极值

当 i\neq 0, n 时，b_{i,n}(t) 有且只有一个极大值点，位于 t=\frac{i}{n}，值为

b_{i,n}(\frac{i}{n}) = i^i\cdot n^{-n} \cdot (n-i)^{n-i} \binom{n}{i}

临近项关系

伯恩斯坦多项式的项总是可以表示为两个比他高一阶项的线性组合

b_{i,n-1}(t) = \frac{n-i}{n}b_{i,n}(t) + \frac{i+1}{n}b_{i+1,n}(t)

而其导数可以表示为两个低一阶项的线性组合

b_{i,n}^{‘}(t) = n\cdot[b_{i-1,n-1}(t)-b_{i,n-1}(t)]

当然这里需要考虑到一个约定，即当 i<0 或 i>n 时，

\binom{n}{i} = 0

这是很容易理解的。二阶项系数的含义是在不考虑顺序的情况下，从 n 中挑选出子集大小为 i 的可能性有多少。当 i<0 或 i>n 时，其可能性当然为零。

由此，我们也知道，当 i<0 或 i>n 时，

b_{i,n}(t) = 0

端点

当 t=0 或 t=1 时，其结果满足

\begin{align}
b_{i,n}(0) &= \delta_{i, 0} \newline
b_{i,n}(1) &= \delta_{i, n}
\end{align}

其中

\delta_{i,j} =
\begin{cases}
0, &i \neq j \newline
1, &i = j
\end{cases}

是 Kronecker \delta 函数。

积分

\int_{0}^{1} b_{i,n}(t) dt = \frac{1}{n+1}

多项式前几阶结果

通过求取多项式的前几阶结果，并画出相应的函数图，可以很直观地验证上述伯恩斯坦多项式的几个性质。

零阶

\begin{align}
b_{0,0}(t) &= 1
\end{align}

一阶

\begin{align}
b_{0,1}(t) &= 1-t \newline
b_{1,1}(t) &= t
\end{align}

二阶

\begin{align}
b_{0,2}(t) &= (1-t)^2 \newline
b_{1,2}(t) &= 2(1-t)t \newline
b_{2,2}(t) &= t^2
\end{align}

三阶

\begin{align}
b_{0,3}(t) &= (1-t)^3 \newline
b_{1,3}(t) &= 3(1-t)^2t \newline
b_{2,3}(t) &= 3(1-t)t^2 \newline
b_{3,3}(t) &= t^3
\end{align}

四阶

\begin{align}
b_{0, 4}(t) &= (1-t)^4 \newline
b_{1, 4}(t) &= 4(1-t)^3t \newline
b_{2, 4}(t) &= 6(1-t)^2t^2 \newline
b_{3, 4}(t) &= 4(1-t)t^3 \newline
b_{4, 4}(t) &= t^4
\end{align}

五阶

\begin{align}
b_{0, 5}(t) &= (1-t)^5 \newline
b_{1, 5}(t) &= 5(1-t)^4t \newline
b_{2, 5}(t) &= 10(1-t)^3t^2 \newline
b_{3, 5}(t) &= 10(1-t)^2t^3 \newline
b_{4, 5}(t) &= 5(1-t)t^4 \newline
b_{5, 5}(t) &= t^5
\end{align}

参考

• Wolfram
• Wikipedia